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## 源码简介

%%%%%  1.调原始图像矩阵
f=X;         %  原始图像
% f=[0 0 0 0 0 0 0 0 ;...
%    0 0 0 1 1 0 0 0 ;...
%    0 0 2 4 4 2 0 0 ;...
%    0 1 4 8 8 4 1 0 ;...
%    0 1 4 8 8 4 1 0 ;...
%    0 0 2 4 4 2 0 0 ;...
%    0 0 0 1 1 0 0 0 ;...
%    0 0 0 0 0 0 0 0 ;];  %  原始图像矩阵
N=length(f);         %  图像维数
T=N/2;               %  子图像维数

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%正变换%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%   1.列变换
%  A.分裂（奇偶分开）
f1=f([1:2:N-1],:);  %  奇数
f2=f([2:2:N],:);    %  偶数
% f1(:,T+1)=f1(:,1);  %  补列
% f2(T+1,:)=f2(1,:);  %  补行
%  B.预测
for i_hc=1:T;
high_frequency_column(i_hc,:)=f1(i_hc,:)-f2(i_hc,:);
end;
% high_frequency_column(T+1,:)=high_frequency_column(1,:);  %  补行
%  C.更新
for i_lc=1:T;
low_frequency_column(i_lc,:)=f2(i_lc,:)+1/2*high_frequency_column(i_lc,:);
end;
%  D.合并
f_column([1:1:T],:)=low_frequency_column([1:T],:);
f_column([T+1:1:N],:)=high_frequency_column([1:T],:);

figure(1)
colormap(map);
image(f);
figure(2)
colormap(map);
image(f_column);

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%   2.行变换
%  A.分裂（奇偶分开）
f1=f_column(:,[1:2:N-1]);  %  奇数
f2=f_column(:,[2:2:N]);    %  偶数

% f2(:,T+1)=f2(:,1);    %  补行
%  B.预测
for i_hr=1:T;
high_frequency_row(:,i_hr)=f1(:,i_hr)-f2(:,i_hr);
end;
% high_frequency_row(:,T+1)=high_frequency_row(:,1);  %  补行
%  C.更新
for i_lr=1:T;
low_frequency_row(:,i_lr)=f2(:,i_lr)+1/2*high_frequency_row(:,i_lr);
end;
%  D.合并
f_row(:,[1:1:T])=low_frequency_row(:,[1:T]);
f_row(:,[T+1:1:N])=high_frequency_row(:,[1:T]);

figure(3)
colormap(map);
image(f_row);

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%反变换%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%   1.行变换
%   A.提取（低频高频分开）
f1=f_row(:,[T+1:1:N]);  %  奇数
f2=f_row(:,[1:1:T]);    %  偶数

% f2(:,T+1)=f2(:,1);    %  补行
%  B.更新
for i_lr=1:T;
low_frequency_row(:,i_lr)=f2(:,i_lr)-1/2*f1(:,i_lr);
end;
%  C.预测
for i_hr=1:T;
high_frequency_row(:,i_hr)=f1(:,i_hr)+low_frequency_row(:,i_hr);
end;
% high_frequency_row(:,T+1)=high_frequency_row(:,1);  %  补行

%  D.合并(奇偶分开合并)
f_row(:,[2:2:N])=low_frequency_row(:,[1:T]);
f_row(:,[1:2:N-1])=high_frequency_row(:,[1:T]);

figure(4)
colormap(map);
image(f_row);

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%   2.列变换
%  A.提取（低频高频分开）
f1=f_row([T+1:1:N],:);  %  奇数
f2=f_row([1:1:T],:);    %  偶数
% f1(:,T+1)=f1(:,1);  %  补列
% f2(T+1,:)=f2(1,:);  %  补行
%  B.更新
for i_lc=1:T;
low_frequency_column(i_lc,:)=f2(i_lc,:)-1/2*f1(i_lc,:);
end;
%  C.预测
for i_hc=1:T;
high_frequency_column(i_hc,:)=f1(i_hc,:)+low_frequency_column(i_hc,:);
end;
% high_frequency_column(T+1,:)=high_frequency_column(1,:);  %  补行

%  D.合并(奇偶分开合并）
f_column([2:2:N],:)=low_frequency_column([1:T],:);
f_column([1:2:N-1],:)=high_frequency_column([1:T],:);

figure(5)
colormap(map);
image(f_column);

2维小波变换经典程序

%  FWT_DB.M;
%  此示意程序用DWT实现二维小波变换
%  编程时间2004-4-10，编程人沙威
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clear;clc;
T=256;       %  图像维数
SUB_T=T/2;   %  子图维数
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  1.调原始图像矩阵
f=X;         %  原始图像
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  2.进行二维小波分解
l=wfilters('db10','l');    %  db10（消失矩为10)低通分解滤波器冲击响应（长度为20）
L=T-length(l);
l_zeros=[l,zeros(1,L)];    %  矩阵行数与输入图像一致，为2的整数幂
h=wfilters('db10','h');    %  db10（消失矩为10)高通分解滤波器冲击响应（长度为20）
h_zeros=[h,zeros(1,L)];    %  矩阵行数与输入图像一致，为2的整数幂
for i=1:T;   %  列变换
row(1:SUB_T,i)=dyaddown( ifft( fft(l_zeros).*fft(f(:,i)') ) ).';    %  圆周卷积<->FFT
row(SUB_T+1:T,i)=dyaddown( ifft( fft(h_zeros).*fft(f(:,i)') ) ).';  %  圆周卷积<->FFT
end;
for j=1:T;   %  行变换
line(j,1:SUB_T)=dyaddown( ifft( fft(l_zeros).*fft(row(j,:)) ) );    %  圆周卷积<->FFT
line(j,SUB_T+1:T)=dyaddown( ifft( fft(h_zeros).*fft(row(j,:)) ) );  %  圆周卷积<->FFT
end;
decompose_pic=line;  %  分解矩阵
%  图像分为四块
lt_pic=decompose_pic(1:SUB_T,1:SUB_T);      %  在矩阵左上方为低频分量--fi(x)*fi(y)
rt_pic=decompose_pic(1:SUB_T,SUB_T+1:T);    %  矩阵右上为--fi(x)*psi(y)
lb_pic=decompose_pic(SUB_T+1:T,1:SUB_T);    %  矩阵左下为--psi(x)*fi(y)
rb_pic=decompose_pic(SUB_T+1:T,SUB_T+1:T);  %  右下方为高频分量--psi(x)*psi(y)

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  3.分解结果显示
figure(1);
colormap(map);
subplot(2,1,1);
image(f);  %  原始图像
title('original pic');
subplot(2,1,2);
image(abs(decompose_pic));  %  分解后图像
title('decomposed pic');
figure(2);
colormap(map);
subplot(2,2,1);
image(abs(lt_pic));  %  左上方为低频分量--fi(x)*fi(y)
title('\Phi(x)*\Phi(y)');
subplot(2,2,2);
image(abs(rt_pic));  %  矩阵右上为--fi(x)*psi(y)
title('\Phi(x)*\Psi(y)');
subplot(2,2,3);
image(abs(lb_pic));  %  矩阵左下为--psi(x)*fi(y)
title('\Psi(x)*\Phi(y)');
subplot(2,2,4);
image(abs(rb_pic));  %  右下方为高频分量--psi(x)*psi(y)
title('\Psi(x)*\Psi(y)');

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  5.重构源图像及结果显示
% construct_pic=decompose_matrix'*decompose_pic*decompose_matrix;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
l_re=l_zeros(end:-1:1);   %  重构低通滤波
l_r=circshift(l_re',1)';  %  位置调整
h_re=h_zeros(end:-1:1);   %  重构高通滤波
h_r=circshift(h_re',1)';  %  位置调整

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
top_pic=[lt_pic,rt_pic];  %  图像上半部分
t=0;
for i=1:T;  %  行插值低频

if (mod(i,2)==0)
topll(i,:)=top_pic(t,:); %  偶数行保持
else
t=t+1;
topll(i,:)=zeros(1,T);   %  奇数行为零
end
end;
for i=1:T;  %  列变换
topcl_re(:,i)=ifft( fft(l_r).*fft(topll(:,i)') )';  %  圆周卷积<->FFT
end;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
bottom_pic=[lb_pic,rb_pic];  %  图像下半部分
t=0;
for i=1:T;  %  行插值高频
if (mod(i,2)==0)
bottomlh(i,:)=bottom_pic(t,:);  %  偶数行保持
else
bottomlh(i,:)=zeros(1,T);       %  奇数行为零
t=t+1;
end
end;
for i=1:T; %  列变换
bottomch_re(:,i)=ifft( fft(h_r).*fft(bottomlh(:,i)') )';  %  圆周卷积<->FFT
end;

construct1=bottomch_re+topcl_re;  %  列变换重构完毕

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
left_pic=construct1(:,1:SUB_T);   %  图像左半部分
t=0;
for i=1:T;  %  列插值低频

if (mod(i,2)==0)
leftll(:,i)=left_pic(:,t); %  偶数列保持
else
t=t+1;
leftll(:,i)=zeros(T,1);    %  奇数列为零
end
end;
for i=1:T;  %  行变换
leftcl_re(i,:)=ifft( fft(l_r).*fft(leftll(i,:)) );  %  圆周卷积<->FFT
end;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
right_pic=construct1(:,SUB_T+1:T);  %  图像右半部分

t=0;
for i=1:T;  %  列插值高频
if (mod(i,2)==0)
rightlh(:,i)=right_pic(:,t);  %  偶数列保持
else
rightlh(:,i)=zeros(T,1);      %  奇数列为零
t=t+1;
end
end;
for i=1:T; %  行变换
rightch_re(i,:)=ifft( fft(h_r).*fft(rightlh(i,:)) );  %  圆周卷积<->FFT
end;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
construct_pic=rightch_re+leftcl_re;  %  重建全部图像

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  结果显示
figure(3);
colormap(map);
subplot(2,1,1);
image(f);  %  源图像显示
title('original pic');

subplot(2,1,2);
image(abs(construct_pic));   %  重构源图像显示
title('reconstructed pic');
error=abs(construct_pic-f);  %  重构图形与原始图像误值
figure(4);
mesh(error);  %  误差三维图像
title('absolute error display');

Daubechies小波基的构造

%  此程序实现构造小波基
%  periodic_wavelet.m
function ss=periodic_wavelet;
clear;clc;
% global MOMENT;  %  消失矩阶数
% global LEFT_SCALET;  %  尺度函数左支撑区间
% global RIGHT_SCALET;  %  尺度函数右支撑区间
% global LEFT_BASIS;  %  小波基函数左支撑区间
% global RIGHT_BASIS;  %  小波基函数右支撑区间
% global MIN_STEP;  %  最小离散步长
% global LEVEL;  %  计算需要的层数(离散精度）
% global MAX_LEVEL;  %  周期小波最大计算层数

[s2,h]=scale_integer;
[test,h]=scalet_stretch(s2,h);
wave_base=wavelet(test,h);
ss=periodic_waveletbasis(wave_base);

function [s2,h]=scale_integer;
%  本函数实现求解小波尺度函数离散整数点的值
%  sacle_integer.m
MOMENT=10;  %  消失矩阶数
LEFT_SCALET=0;  %  尺度函数左支撑区间
RIGHT_SCALET=2*MOMENT-1;  %  尺度函数右支撑区间
LEFT_BASIS=1-MOMENT;    %  小波基函数左支撑区间
RIGHT_BASIS=MOMENT;     %  小波基函数右支撑区间
MIN_STEP=1/512;          %  最小离散步长
LEVEL=-log2(MIN_STEP);  %  计算需要的层数(离散精度）
MAX_LEVEL=8;  %  周期小波最大计算层数

h=wfilters('db10','r');  %  滤波器系数
h=h*sqrt(2); % FI(T)=SQRT(2)*SUM(H(N)*FI(2T-N)) N=0:2*MOMENT-1;
for i=LEFT_SCALET+1:RIGHT_SCALET-1
for j=LEFT_SCALET+1:RIGHT_SCALET-1
k=2*i-j+1;
if (k>=1&k<=RIGHT_SCALET+1)
a(i,j)=h(k);  %  矩阵系数矩阵
else
a(i,j)=0;
end
end
end
[s,w]=eig(a);  %  求特征向量，解的基
s1=s(:,1);
s2=[0;s1/sum(s1);0]; %  根据条件SUM(FI(T))=1,求解;

%  本函数实现尺度函数经伸缩后的离散值
%  scalet_stretch.m
function [s2,h]=scalet_stretch(s2,h);
MOMENT=10;  %  消失矩阶数
LEFT_SCALET=0;  %  尺度函数左支撑区间
RIGHT_SCALET=2*MOMENT-1;  %  尺度函数右支撑区间
LEFT_BASIS=1-MOMENT;  %  小波基函数左支撑区间
RIGHT_BASIS=MOMENT;  %  小波基函数右支撑区间
MIN_STEP=1/512;  %  最小离散步长
LEVEL=-log2(MIN_STEP);  %  计算需要的层数(离散精度）
MAX_LEVEL=8;  %  周期小波最大计算层数

for j=1:LEVEL  %  需要计算到尺度函数的层数
t=0;
for i=1:2:2*length(s2)-3  %  需要计算的离散点取值（0，1，2，3 -> 1/2, 3/2, 5/2)
t=t+1;
fi(t)=0;
for n=LEFT_SCALET:RIGHT_SCALET;  % 低通滤波器冲击响应紧支撑判断
if ((i/2^(j-1)-n)>=LEFT_SCALET&(i/2^(j-1)-n)<=RIGHT_SCALET) %  小波尺度函数紧支撑判断
fi(t)=fi(t)+h(n+1)*s2(i-n*2^(j-1)+1);  %  反复应用双尺度方程求解
end
end
end
clear s
n1=length(s2);
n2=length(fi);
for i=1:length(s2)+length(fi)  %  变换后的矩阵长度
if (mod(i,2)==1)
s(i)=s2((i+1)/2);  %  矩阵奇数下标为小波上一层(0,1,2,3)离散值
else
s(i)=fi(i/2);  %  矩阵偶数下标为小波下一层(1/2,3/2,5/2)(经过伸缩变换后)的离散值
end
end
s2=s;
end

%  采用双尺度方程求解小波基函数 PSI(T)
%  wavelet.m
function wave_base=wavelet(test,h);
MOMENT=10;  %  消失矩阶数
LEFT_SCALET=0;  %  尺度函数左支撑区间
RIGHT_SCALET=2*MOMENT-1;  %  尺度函数右支撑区间
LEFT_BASIS=1-MOMENT;  %  小波基函数左支撑区间
RIGHT_BASIS=MOMENT;  %  小波基函数右支撑区间
MIN_STEP=1/512;  %  最小离散步长
LEVEL=-log2(MIN_STEP);  %  计算需要的层数(离散精度）
MAX_LEVEL=8;  %  周期小波最大计算层数

i=0;
for t=LEFT_BASIS:MIN_STEP:RIGHT_BASIS;  %  小波基支撑长度
s=0;
for n=1-RIGHT_SCALET:1-LEFT_SCALET  %  g(n)取值范围
if((2*t-n)>=LEFT_SCALET&(2*t-n)<=RIGHT_SCALET)  %  尺度函数判断
s=s+h(1-n+1)*(-1)^(n)*test((2*t-n)/MIN_STEP+1);  %  计算任意精度的小波基函数值
end
end
i=i+1;
wave_base(i)=s;
end

clear;clc;
%%  1.生成信号
f=50;   %  频率
fs=800; %  采样率
T=128;  %  信号长度
n=1:T;
y=sin(2*pi*f*n/fs)+2*exp(-f*n/(4*fs));  %  信号
% y=circshift(y.',3).';
%%  2.正变换
l1=wfilters('db4','l')*sqrt(2)/2;     %  参考低通滤波器
l1_zeros=[l1,zeros(1,T-length(l1))];  %  低通滤波器1
h1=wfilters('db4','h')*sqrt(2)/2;     %  参考高通滤波器
h1_zeros=[h1,zeros(1,T-length(h1))];  %  高通滤波器1
low1=ifft(fft(y).*fft(l1_zeros));     %  低频分量1
high1=ifft(fft(y).*fft(h1_zeros));    %  高频分量1
l2_zeros=[l2,zeros(1,T-length(l2))];  %  低通滤波器2
h2_zeros=[h2,zeros(1,T-length(h2))];  %  高通滤波器2
low2=ifft(fft(low1).*fft(l2_zeros));  %  低频分量2
high2=ifft(fft(low1).*fft(h2_zeros)); %  高频分量2
%%  3.反变换
lr2=circshift(l2_zeros(end:-1:1).',1).';  %  重构低通滤波器2
hr2=circshift(h2_zeros(end:-1:1).',1).';  %  重构高通滤波器2
lr1=circshift(l1_zeros(end:-1:1).',1).';  %  重构低通滤波器1
hr1=circshift(h1_zeros(end:-1:1).',1).';  %  重构高通滤波器1
lowr=(ifft(fft(low2).*fft(lr2))+ifft(fft(high2).*fft(hr2)));  %  重构低频分量1(lowr=low1)
r_s=(ifft(fft(lowr).*fft(lr1))+ifft(fft(high1).*fft(hr1)));   %  重构源信号(r_s=y)

%%  4.绘图
figure(1);
plot(y);
title('源信号');
figure(2);
plot(low1,'r');
hold on;
plot(low2,'b');
legend('第一层低频','第二层低频');
figure(3);
plot(high1,'r');
hold on;
plot(high2,'b');
legend('第一层高频','第二层高频');
figure(4);
plot(low1,'r');
hold on;
plot(lowr,'b.');
legend('第一层低频','重构第一层低频');
figure(5);
plot(y,'r');
hold on;
plot(r_s,'b.');
legend('源信号','重构信号');
disp(norm(low1-lowr))
disp(norm(y-r_s))

clear;
clc;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%  1.原始信号
f=50;    % 信号频率
fs=800;  % 采样频率
N=128;   % 采样点
%  信号赋值
n=1:N;
y=sin(2*pi*f*n/fs);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%  2.噪声
noise=0.4*rand(1,128);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%  3.染噪信号
y_noise=y+noise;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%  4.硬消噪采用cycle_spinning技术
%  累加量
z5=zeros(1,N);
%  平移变换频移法
for i=1:N;
z=circshift(y_noise.',i-1).';  %  源信号右平移
[z1,z2]=lwt(z,'db3');    %  小波正变换
z2=zeros(1,N/2);         %  高频分量全部为零（主要噪声，硬消噪）
z3=ilwt(z1,z2,'db3');    %  小波反变换
z4=circshift(z3.',-(i-1)).';  %  变换后信号左平移
z5=z5+z4/N;  %  平均
end;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%  5.显示
error=norm(y-z5)/norm(y);  % 相对误差
figure(1);
subplot(2,1,1)
plot(y,'r');
legend('源信号');
subplot(2,1,2);
plot(y_noise);
legend('染噪信号');

figure(2);
subplot(2,1,1)
plot(y,'r');
legend('源信号');
title(error);
subplot(2,1,2);
plot(z5);
legend('消噪后信号');

%%  本程序实现任意偶数大小图像第二代双正交97提升小波变换
%%  注1： 采用标准正交方法，对行列采用不同矩阵（和matlab里不同）
%%  注2： 为了保证正交，所有边界处理，全部采用循环处理
%%  注3： 正交性验证，将单位阵带入函数，输出仍是单位阵（matlab不具有此性质）
%%  注4： 此程序是矩阵实现，所以图像水平分量和垂直分量估计被交换位置
%%  注5： 此程序实现的是类小波（wavelet-like）变换，是介于小波包变换与小波变换之间的变换
%%  注6： 此程序每层变换相对原图像矩阵，产生的矩阵都是正交阵，这和小波包一致
%%  注7： 但小波变换每层产生的矩阵，是相对每个待分解子块的正交矩阵，而不是原图像的正交矩阵
%%  注8： 且小波变换产生的正交矩阵维数，随分解层数2分减少
%%  注9:  提升系数可以在MATLAB7.0以上版本，用liftwave('9.7')获取，这里直接给出，考虑兼容性
%%  注10：由于MATLAB数组下标从1开始，所以注意奇偶序列的变化
%%  注11：d为对偶上升，即预测；p为原上升，即更新
%%  编程人  沙威 安徽大学
%%  编程时间  2004年12月18日
%%  x输入图像,y输出图像
%%  flag_trans为正变换或反变换标志，0执行正变换，1执行反变换
%%  flag_max,是否最大层数变换标志,0执行用户设定层数,1执行最大层数变换
%%  layer,用户层数设置（小于最大层）
function y=db97(x,flag_trans,flag_max,layer);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  1.输入参数检查
%  矩阵维数判断
[sa,sb]=size(x);
if (sa~=sb)       %  防止非图像数据
errordlg('非图像数据！');
error('非图像数据！');
end;
%  变换标志判断
[sa,sb]=size(flag_trans);
if ((sa~=1) | (sb~=1))                  %  变换标志错误
errordlg('变换标志错误！');
error('变换标志错误！');
end;
if ((flag_trans~=1) & (flag_trans~=0))  %  变换标志错误
errordlg('变换标志错误！');
error('变换标志错误！');
end;
%  最大层数标志判断
[sa,sb]=size(flag_max);
if ((sa~=1) | (sb~=1))              %  最大层数标志错误
errordlg('最大层数标志错误！');
error('最大层数标志错误！');
end;
if ((flag_max~=1) & (flag_max~=0))  %  最大层数标志错误
errordlg('最大层数标志错误！');
error('最大层数标志错误！');
end;
%  用户设置层数判断
if (flag_max~=1)
[sa,sb]=size(layer);
if ((sa~=1) | (sb~=1))       %  层数设置错误
errordlg('层数设置错误！');
error('层数设置错误！');
end;
if (flag_max<0)              %  层数设置错误
errordlg('层数设置错误！');
error('层数设置错误！');
end;
end;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  2.提升系数确定
%  t1=liftwave('9.7');  %  获取提升系数(MATLAB7.0以后)
d1=[-1.586100000000000e+000,-1.586134342069360e+000];
p1=[1.079600000000000e+000,-5.298011857188560e-002];
d2=[-8.829110755411875e-001,-8.829110755411875e-001];
p2=[4.435068520511142e-001,1.576123746148364e+000];
d3=-8.698644516247808e-001;
p3=-1.149604398860242e+000;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  3.分解层数确定
%  采用用户输入和自动给出最大层数两种方法
N=length(x); %  矩阵大小
S=N;         %  变量
s=log2(N);   %  最大循环次数
n1=N/2;      %  初始一半矩阵大小
n2=N;        %  初始矩阵大小
u=0;         %  初始值
%  对非2的整数幂大小图像确定最大分解层数
for ss=1:s
if (mod(S,2)==0)
u=u+1;
S=S/2;
end;
end;
u=u-1;            %  分解最大层数减1(后面的边界处理造成)
%  最大层数确定
if (flag_max==0)  %  手动输入
T=layer;      %  用户输入值
else              %  自动确定最大层数
T=u;          %  分解最大层数
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  4.最大层数和图像大小检查
if (T>u)          %  防止用户层数越界
errordlg('已超过最大分解层数！或者非偶数大小图像！');
error('已超过最大分解层数！或者非偶数大小图像！');
end;
if (mod(N,2)~=0)  %  防止图像大小错误
errordlg('非偶数大小图像！');
error('非偶数大小图像！');
end;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  5.提升法正变换
if (flag_trans==0)
for time=1:T;
%  行正变换

% d;
x1(n1,:)=x(n2,:)+d1(2)*x(n2-1,:)+d1(1)*x(1,:);
x1([1:n1-1],:)=x([2:2:n2-2],:)+d1(2)*x([1:2:n2-3],:)+d1(1)*x([3:2:n2-1],:);

% p;
x(1,:)=x(1,:)+p1(2)*x1(n1,:)+p1(1)*x1(1,:);
x([2:n1],:)=x([3:2:n2-1],:)+p1(2)*x1([1:n1-1],:)+p1(1)*x1([2:n1],:);
x([n1+1:n2],:)=x1([1:n1],:);

% d;
x(n1+1,:)=x(n1+1,:)+d2(2)*x(n1,:)+d2(1)*x(1,:);
x([n1+2:n2],:)=x([n1+2:n2],:)+d2(2)*x([1:n1-1],:)+d2(1)*x([2:n1],:);

% p;
x(n1,:)=x(n1,:)+p2(2)*x(n1+1,:)+p2(1)*x(n1+2,:);
x(n1-1,:)=x(n1-1,:)+p2(2)*x(n2,:)+p2(1)*x(n1+1,:);
x([1:n1-2],:)=x([1:n1-2],:)+p2(2)*x([n1+2:n2-1],:)+p2(1)*x([n1+3:n2],:);

% 归一
x([1:n1],:)=p3*x([1:n1],:);
x([n1+1:n2],:)=d3*x([n1+1:n2],:);
clear x1;

%  列正变换

% d;
x1(:,[1:n1])=x(:,[2:2:n2]);

% p;
x(:,1)=x(:,1)-d1(1)*x1(:,n1)-d1(2)*x1(:,1);
x(:,[2:n1])=x(:,[3:2:n2-1])-d1(1)*x1(:,[1:n1-1])-d1(2)*x1(:,[2:n1]);
x(:,[n1+1:n2])=x1(:,[1:n1]);

% d;
x(:,n2)=x(:,n2)-p1(1)*x(:,n1)-p1(2)*x(:,1);
x(:,[n1+1:n2-1])=x(:,[n1+1:n2-1])-p1(1)*x(:,[1:n1-1])-p1(2)*x(:,[2:n1]);

% p;
x(:,n1,:)=x(:,n1)-d2(1)*x(:,n2)-d2(2)*x(:,n1+1);
x(:,[1:n1-1])=x(:,[1:n1-1])-d2(1)*x(:,[n1+1:n2-1])-d2(2)*x(:,[n1+2:n2]);

% d;
x(:,n1+1)=x(:,n1+1)-p2(1)*x(:,n1-1)-p2(2)*x(:,n1);
x(:,n1+2)=x(:,n1+2)-p2(1)*x(:,n1)-p2(2)*x(:,1);
x(:,[n1+3:n2])=x(:,[n1+3:n2])-p2(1)*x(:,[1:n1-2])-p2(2)*x(:,[2:n1-1]);

% 归一
x(:,[1:n1])=d3*x(:,[1:n1]);
x(:,[n1+1:n2])=p3*x(:,[n1+1:n2]);
clear x1;

n2=n2/2; %  原大小
n1=n2/2; %  一半大小
end;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  6.提升法反变换
else
n2=N/(2.^(T-1)); %  分解最小子块维数
n1=n2/2;
for time=1:T;
%  行反变换

%  去归一
x([1:n1],:)=x([1:n1],:)/p3;
x([n1+1:n2],:)=x([n1+1:n2],:)/d3;
%  反p;
x(n1,:)=x(n1,:)-p2(2)*x(n1+1,:)-p2(1)*x(n1+2,:);
x(n1-1,:)=x(n1-1,:)-p2(2)*x(n2,:)-p2(1)*x(n1+1,:);
x([1:n1-2],:)=x([1:n1-2],:)-p2(2)*x([n1+2:n2-1],:)-p2(1)*x([n1+3:n2],:);

%  反d;
x(n1+1,:)=x(n1+1,:)-d2(2)*x(n1,:)-d2(1)*x(1,:);
x([n1+2:n2],:)=x([n1+2:n2],:)-d2(2)*x([1:n1-1],:)-d2(1)*x([2:n1],:);

%  反p;
x1(1,:)=x(1,:)-p1(2)*x(n2,:)-p1(1)*x(n1+1,:);
x1([2:n1],:)=x([2:n1],:)-p1(2)*x([n1+1:n2-1],:)-p1(1)*x([n1+2:n2],:);

%  反d;
x(n2,:)=x(n2,:)-d1(2)*x1(n1,:)-d1(1)*x1(1,:);
x([2:2:n2-2],:)=x([n1+1:n2-1],:)-d1(2)*x1([1:n1-1],:)-d1(1)*x1([2:n1],:);

%  偶数
x([1:2:n2-1],:)=x1([1:n1],:);

clear x1;

%  列反变换

%  归一
x(:,[1:n1])=x(:,[1:n1])/d3;
x(:,[n1+1:n2])=x(:,[n1+1:n2])/p3;
%  反d;
x(:,n1+1)=x(:,n1+1)+p2(1)*x(:,n1-1)+p2(2)*x(:,n1);
x(:,n1+2)=x(:,n1+2)+p2(1)*x(:,n1)+p2(2)*x(:,1);
x(:,[n1+3:n2])=x(:,[n1+3:n2])+p2(1)*x(:,[1:n1-2])+p2(2)*x(:,[2:n1-1]);

%  反p;
x(:,n1,:)=x(:,n1)+d2(1)*x(:,n2)+d2(2)*x(:,n1+1);
x(:,[1:n1-1])=x(:,[1:n1-1])+d2(1)*x(:,[n1+1:n2-1])+d2(2)*x(:,[n1+2:n2]);

%  反d;
x(:,n2)=x(:,n2)+p1(1)*x(:,n1)+p1(2)*x(:,1);
x(:,[n1+1:n2-1])=x(:,[n1+1:n2-1])+p1(1)*x(:,[1:n1-1])+p1(2)*x(:,[2:n1]);

%  反p;
x1(:,1)=x(:,1)+d1(1)*x(:,n2)+d1(2)*x(:,n1+1);
x1(:,[2:n1])=x(:,[2:n1])+d1(1)*x(:,[n1+1:n2-1])+d1(2)*x(:,[n1+2:n2]);
%  奇偶
x(:,[2:2:n2])=x(:,[n1+1:n2]);
x(:,[1:2:n2-1])=x1(:,[1:n1]);
clear x1;

n2=n2*2; %  原大小
n1=n2/2; %  一半大小
end;
end;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  7.结果输出
y=x;  %  传输最后结果
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  8.内存清理
clear x;
clear flag_max;
clear layer;
clear flag_trans;
clear N;
clear n1;
clear n2;
clear s;
clear ss;
clear u;
clear d1;
clear d2;
clear d3;
clear p1;
clear p2;
clear p3;
clear sa;
clear sb;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

clear;clc;
f=50;
T=0.001;
n=1:50;
y=sin(2*pi*f*n*T);
noise=[zeros(1,17),0.2*randn(1,15),zeros(1,18)];
y_noise=y+noise;
figure(1);
subplot(2,1,1);
plot(y);
title('signal');
subplot(2,1,2);
plot(y_noise);
title('noise & signal');
[yl2,yh2]=dwt(y,'db2');
[yl10,yh10]=dwt(y,'db10');
figure(2);
subplot(2,1,1);
plot(yl2);
title('db2 low frequency signal');
subplot(2,1,2);
plot(yh2);
title('db2 high frequency signal');
figure(3);
subplot(2,1,1);
plot(yl10);
title('db10 low frequency signal');
subplot(2,1,2);
plot(yh10);
title('db10 high frequency signal');
[yl2,yh2]=dwt(y_noise,'db2');
[yl10,yh10]=dwt(y_noise,'db10');
figure(4);
subplot(2,1,1);
plot(yl2);
title('db2 low frequency noise & signal');
subplot(2,1,2);
plot(yh2);
title('db2 high frequency noise & signal');
figure(5);
subplot(2,1,1);
plot(yl10);
title('db10 low frequency noise & signal');
subplot(2,1,2);
plot(yh10);
title('db10 high frequency noise & signal');

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  小波构造
clear;clc;
t=3;
phi=[0,1,0];
h=wfilters('db7','r');
h=h*sqrt(2);
h_e=h(1,[2:2:14]);
h_o=h(1,[1:2:13]);
for m=1:15;
stem(phi);
drawnow;
pause(1);
ee=conv(h_e,phi);
o=conv(h_o,phi);
phi(1,[2:2:2*length(ee)])=ee;
phi(1,[1:2:2*length(oo)-1])=oo;

end;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%  cubic_average（立方b样条）
%  均值插值
%  初始化
s=[0 0 1 0 0]
%  正弦波
% f=50;
% ts=1/200;
% n=0:16;
% s=sin(2*pi*f*n*ts);
%  系数
se=[1/8,6/8,1/8];
so=[4/8,4/8]
%  循环
for p=1:10;
t=length(s)-1;
o(1:t)=s(1:t)*so(1)+s(2:t+1)*so(2);
e(1)=s(t+1)*se(1)+s(1)*se(2)+s(2)*se(3);
e(2:t)=s(1:t-1)*se(1)+s(2:t)*se(2)+s(3:t+1)*se(3);
e(t+1)=s(t)*se(1)+s(t+1)*se(2)+s(1)*se(3);
s([1:2:2*t+1])=e([1:t+1]);
s([2:2:2*t])=o([1:t]);
plot(s);
drawnow;
end;
%  抽取
t=length(s); %  总长度
p=128;       %  需要点数
%  间隔
d=(t-1)/p;
%  最终尺度函数
r=s(2:d:t-1);
%  画图
figure(2);
plot(r);

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%  cubic_subdivision（立方插值）
%  细分插值
% %% 初始化（尺度函数）
% s=[0,0,1,0,0];
%  正弦函数
n=1:20;
f=50;
ts=1/200;
s=sin(2*pi*f*n*ts);
%  指数函数
% n=0:16;
% s=exp(n);
% %  系数
a=[-1/16,9/16,9/16,-1/16];
%  循环
for p=1:4;
t=length(s)-1;
o(1)=s(4)*a(1)+s(1)*a(2)+s(2)*a(3)+s(3)*a(4);
o(2:t-1)=s(1:t-2)*a(1)+s(2:t-1)*a(2)+s(3:t)*a(3)+s(4:t+1)*a(4);
o(t)=s(t-2)*a(4)+s(t+1)*a(3)+s(t)*a(2)+s(t-1)*a(1);
s([1:2:2*t+1])=s([1:t+1]);
s([2:2:2*t])=o([1:t]);
plot(s);
drawnow;
end;
% %  抽取
% t=length(s); %  总长度
% p=128;       %  需要点数
%
% %  间隔
% d=(t-1)/p;
%
% %  最终尺度函数
% r=s(2:d:t-1);
%
% %  画图
% figure(2);
% plot(r);

1．重构

%  mallet_wavelet.m

%  此函数用于研究Mallet算法及滤波器设计

%  此函数仅用于消噪

a=pi/8;                  %角度赋初值

b=pi/8;

%低通重构FIR滤波器h0(n)冲激响应赋值

h0=cos(a)*cos(b);

h1=sin(a)*cos(b);

h2=-sin(a)*sin(b);

h3=cos(a)*sin(b);

low_construct=[h0,h1,h2,h3];

L_fre=4;                             %滤波器长度

low_decompose=low_construct(end:-1:1);   %确定h0(-n)，低通分解滤波器

for i_high=1:L_fre;                      %确定h1(n)=(-1)^n,高通重建滤波器

if(mod(i_high,2)==0);

coefficient=-1;

else

coefficient=1;

end

high_construct(1,i_high)=low_decompose(1,i_high)*coefficient;

end

high_decompose=high_construct(end:-1:1);  %高通分解滤波器h1(-n)

L_signal=100;   %信号长度

n=1:L_signal;   %信号赋值

f=10;

t=0.001;

y=10*cos(2*pi*50*n*t).*exp(-20*n*t);

figure(1);

plot(y);

title('原信号');

check1=sum(high_decompose);         %h0(n)性质校验

check2=sum(low_decompose);

check3=norm(high_decompose);

check4=norm(low_decompose);

l_fre=conv(y,low_decompose);  %卷积

h_fre=conv(y,high_decompose);

figure(2);

subplot(2,1,1)

plot(l_fre_down);

title('小波分解的低频系数');

subplot(2,1,2);

plot(h_fre_down);

title('小波分解的高频系数');

l_fre_denoise=conv(low_construct,l_fre_pull);

h_fre_denoise=conv(high_construct,h_fre_pull);

l_fre_keep=wkeep(l_fre_denoise,L_signal);   %取结果的中心部分,消除卷积影响

h_fre_keep=wkeep(h_fre_denoise,L_signal);

sig_denoise=l_fre_keep+h_fre_keep;          %信号重构

compare=sig_denoise-y;                      %与原信号比较

figure(3);

subplot(3,1,1)

plot(y);

ylabel('y');             %原信号

subplot(3,1,2);

plot(sig_denoise);

ylabel('sig\_denoise');  %重构信号

subplot(3,1,3);

plot(compare);

ylabel('compare');       %原信号与消噪后信号的比较

2．消噪

%  mallet_wavelet.m

%  此函数用于研究Mallet算法及滤波器设计

%  此函数用于消噪处理

%角度赋值

%此处赋值使滤波器系数恰为db9

%分解的高频系数采用db9较好,即它的消失矩较大

%分解的有用信号小波高频系数基本趋于零

%对于噪声信号高频分解系数很大，便于阈值消噪处理

[l,h]=wfilters('db10','d');

low_construct=l;

L_fre=20;                                 %滤波器长度

low_decompose=low_construct(end:-1:1);    %确定h0(-n)，低通分解滤波器

for i_high=1:L_fre;                       %确定h1(n)=(-1)^n,高通重建滤波器

if(mod(i_high,2)==0);

coefficient=-1;

else

coefficient=1;

end

high_construct(1,i_high)=low_decompose(1,i_high)*coefficient;

end

high_decompose=high_construct(end:-1:1);  %高通分解滤波器h1(-n)

L_signal=100;   %信号长度

n=1:L_signal;   %原始信号赋值

f=10;

t=0.001;

y=10*cos(2*pi*50*n*t).*exp(-30*n*t);

zero1=zeros(1,60);    %信号加噪声信号产生

zero2=zeros(1,30);

noise=[zero1,3*(randn(1,10)-0.5),zero2];

y_noise=y+noise;

figure(1);

subplot(2,1,1);

plot(y);

title('原信号');

subplot(2,1,2);

plot(y_noise);

title('受噪声污染的信号');

check1=sum(high_decompose);   %h0(n),性质校验

check2=sum(low_decompose);

check3=norm(high_decompose);

check4=norm(low_decompose);

l_fre=conv(y_noise,low_decompose);        %卷积

h_fre=conv(y_noise,high_decompose);

figure(2);

subplot(2,1,1)

plot(l_fre_down);

title('小波分解的低频系数');

subplot(2,1,2);

plot(h_fre_down);

title('小波分解的高频系数');

% 消噪处理

for i_decrease=31:44;

if abs(h_fre_down(1,i_decrease))>=0.000001

h_fre_down(1,i_decrease)=(10^-7);

end

end

l_fre_denoise=conv(low_construct,l_fre_pull);

h_fre_denoise=conv(high_construct,h_fre_pull);

l_fre_keep=wkeep(l_fre_denoise,L_signal);   %取结果的中心部分,消除卷积影响

h_fre_keep=wkeep(h_fre_denoise,L_signal);

sig_denoise=l_fre_keep+h_fre_keep;          %消噪后信号重构

%平滑处理

for j=1:2

for i=60:70;

sig_denoise(i)=sig_denoise(i-2)+sig_denoise(i+2)/2;

end;

end;

compare=sig_denoise-y;                      %与原信号比较

figure(3);

subplot(3,1,1)

plot(y);

ylabel('y');            %原信号

subplot(3,1,2);

plot(sig_denoise);

ylabel('sig\_denoise'); %消噪后信号

subplot(3,1,3);

plot(compare);

ylabel('compare');      %原信号与消噪后信号的比较

clc;clear;
%%  1.正弦波定义
f1=50;  %  频率1
f2=100; %  频率2
fs=2*(f1+f2);  %  采样频率
Ts=1/fs;  %  采样间隔
N=120;    %  采样点数
n=1:N;
y=sin(2*pi*f1*n*Ts)+sin(2*pi*f2*n*Ts);  %  正弦波混合
figure(1)
plot(y);
title('两个正弦信号')
figure(2)
stem(abs(fft(y)));
title('两信号频谱')
%%  2.小波滤波器谱分析
h=wfilters('db30','l');  %  低通
g=wfilters('db30','h');  %  高通
h=[h,zeros(1,N-length(h))];  %  补零（圆周卷积，且增大分辨率变于观察）
g=[g,zeros(1,N-length(g))];  %  补零（圆周卷积，且增大分辨率变于观察）
figure(3);
stem(abs(fft(h)));
title('低通滤波器图')
figure(4);
stem(abs(fft(g)));
title('高通滤波器图')
%%  3.MALLET分解算法(圆周卷积的快速傅里叶变换实现)
sig1=ifft(fft(y).*fft(h));  %  低通(低频分量)
sig2=ifft(fft(y).*fft(g));  %  高通(高频分量)
figure(5);  %  信号图
subplot(2,1,1)
plot(real(sig1));
title('分解信号1')
subplot(2,1,2)
plot(real(sig2));
title('分解信号2')
figure(6);  %  频谱图
subplot(2,1,1)
stem(abs(fft(sig1)));
title('分解信号1频谱')
subplot(2,1,2)
stem(abs(fft(sig2)));
title('分解信号2频谱')
%%  4.MALLET重构算法
sig1=sig1(1,[1:N]);  %  去掉最后一个零
sig2=sig2(1,[1:N]);  %  去掉最后一个零
hr=h(end:-1:1);         %  重构低通
gr=g(end:-1:1);         %  重构高通
hr=circshift(hr',1)';   %  位置调整圆周右移一位
gr=circshift(gr',1)';   %  位置调整圆周右移一位
sig1=ifft(fft(hr).*fft(sig1));  %  低频
sig2=ifft(fft(gr).*fft(sig2));  %  高频
sig=sig1+sig2; %  源信号
%%  5.比较
figure(7);
subplot(2,1,1)
plot(real(sig1));
title('重构低频信号');
subplot(2,1,2)
plot(real(sig2));
title('重构高频信号');
figure(8);
subplot(2,1,1)
stem(abs(fft(sig1)));
title('重构低频信号频谱');
subplot(2,1,2)
stem(abs(fft(sig2)));
title('重构高频信号频谱');
figure(9)
plot(real(sig),'r','linewidth',2);
hold on;
plot(y);
legend('重构信号','原始信号')
title('重构信号与原始信号比较')

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